Заявки
на голосование

Введение в обыкновенные дифференциальные уравнения

Проголосовать за курс:
Илья Щуров
НИУ ВШЭ
Теория дифференциальных уравнений является одним из основных математических инструментов естествознания и сейчас необходима не только математикам и физикам, но также экономистам, политологам и исследователям, занимающимся другими областями. Курс ставит своей целью познакомить слушателей с основными понятиями и методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений на уровне, доступном для студентов, не планирующих становиться профессиональными математиками, но испытывающих необходимость в достаточно глубоком, содержательном понимании предмета.

Урок: Что такое дифференциальные уравнения

План курса:

  1. Что такое дифференциальное уравнение: простейшие примеры, задача Коши, модель Мальтуса. Другие примеры моделей: экономический рост, падающий мячик. Геометрические объекты: фазовое пространство, расширенное фазовое пространство, поле направлений, интегральные кривые.
  2. Дифференциальные уравнения на прямой. Численное решение дифференциальных уравнений: метод Эйлера Аналитическое решение автономных дифференциальных уравнений на прямой: формула Барроу. Метод разделения переменных.
  3. Существование и единственность решений: одномерное фазовое пространство. Пример нарушения единственности решений.
  4. Многомерные фазовые пространства. Общее понятие о фазовом пространстве. Системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения (без доказательства). Автономные дифференциальные уравнения. Векторные поля и фазовые кривые.
  5. Связь между автономными и неавтономными уравнениями. Прямое произведение уравнений и геометрическая интерпретация метода разделения переменных.
  6. Уравнение колебаний осциллятора. Уравнения в полных дифференциалах. Первые интегралы. Производная вдоль векторного поля. Критерий того, что функция является первым интегралом. Локальные и глобальные первые интегралы. Препятствия к существованию глобальных первых интегралов.
comments powered by Disqus